Passage à la limite
$$\int^{+\infty}_1\frac1{x^\alpha}\,dx=\lim_{t\to+\infty}\int^t_1\frac1{x^\alpha}\,dx$$

Calcul de l'intégrale

• si \(\alpha=1\), alors $$\int^{t}_1\frac1{x^\alpha}\,dx=\left.\ln x\right|_1^t=\ln t\underset{t\to+\infty}\longrightarrow+\infty\qquad\text{DV}$$
• si \(\alpha\neq1\), alors $$\int^{t}_1\frac1{x^\alpha}\,dx=\left.\frac{x^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}\right|^t_1=\frac{1}{-\alpha+1}\frac1{t^{\alpha-1}}-\frac1{-\alpha+t}$$

Cette intégrale est donc convergente si et seulement si \(\alpha\gt 1\)

Passage à la limite
$$\int^1_0\frac1{x^\alpha}\,dx=\displaystyle\lim_{t\to0}\int^1_t\frac1{x^\alpha}\,dx$$

Conclusion

Pour \(\alpha\neq1\), $$\int^1_t\frac1{x^\alpha}\,dx=\left.\frac{x^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}\right|^1_t=\frac1{-\alpha+1}-\frac1{-\alpha+1}\frac1{t^{\alpha-1}}$$
L'intégrale converge donc si \(\alpha\lt 1\) et diverge si \(\alpha\gt 0\)
Pour \(\alpha=1\), $$\int^1_t\frac1x\,dx=\left.\ln x\right|^1_t=-\ln t\underset{t\to+\infty}\longrightarrow-\infty$$
Donc l'intégrale converge si \(\alpha=1\)